Основные системы счисления: что такое

Основные системы счисления (правильный термин) — это способы представления чисел с помощью символов (цифр). Их можно разделить на два основных класса:

  1. Непозиционные системы:
    • Принцип: Значение цифры не зависит от её положения в записи числа.
    • Примеры:
      • Римская система: Использует буквы латинского алфавита (I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000). Число образуется сложением и вычитанием значений символов (например, IV=4, IX=9, XL=40, XC=90, CD=400, CM=900). Сложна для арифметических операций.
  2. Позиционные системы:
    • Принцип: Значение цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Каждая позиция имеет свой вес, равный основанию системы, возведённому в степень (начиная с 0 справа налево).
    • Основание системы счисления (q): Количество уникальных цифр (включая 0), используемых в системе. q >= 2.
    • Основные позиционные системы:
      • Десятичная (q=10): Самая распространенная в повседневной жизни. Использует цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Вес позиций: …, 1000, 100, 10, 1.
        • Пример: 1234 = 1*10³ + 2*10² + 3*10¹ + 4*10⁰
      • Двоичная (q=2): Основа компьютерной техники. Использует цифры 0 и 1. Вес позиций: …, 8, 4, 2, 1 (степени двойки).
        • Пример: 1101₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀
        • Применение: Представление данных и команд в процессорах, оперативная память, хранение информации (все основано на двух состояниях: вкл/выкл, высокий/низкий уровень напряжения).
      • Восьмеричная (q=8): Использует цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Вес позиций: …, 512, 64, 8, 1 (степени восьмерки).
        • Пример: 345₈ = 3*8² + 4*8¹ + 5*8⁰ = 192 + 32 + 5 = 229₁₀
        • Применение: Исторически использовалась в программировании (как более компактная замена двоичной, 1 восьмеричная цифра = 3 битам). Сейчас применяется реже.
      • Шестнадцатеричная (q=16): Широко используется в программировании и низкоуровневой работе с компьютером. Использует цифры 0-9 и буквы A-F (или a-f) для значений 10-15. Вес позиций: …, 4096, 256, 16, 1 (степени шестнадцати).
        • Пример: 1A3F₁₆ = 1*16³ + 10*16² + 3*16¹ + 15*16⁰ = 4096 + 2560 + 48 + 15 = 6719₁₀
        • Применение: Компактное представление двоичных данных (1 шестнадцатеричная цифра = 4 бита). Адреса памяти, коды ошибок, представление цветов (RGB/HEX).
      • Шестидесятеричная (q=60): Одна из древнейших (Вавилон). Вес позиций: …, 3600, 60, 1.
        • Применение: Измерение времени (1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд), измерение углов (1 градус = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).

Краткий итог по основным позиционным системам: Система Основание (q) Цифры Ключевое применение Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Повседневная жизнь, наука, экономика Двоичная 2 0, 1 Компьютерная техника (основа всего) Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Историческое (программирование) Шестнадцатеричная 16 0-9, A-F (a-f) Программирование, низкоуровневая работа Шестидесятеричная 60 0-59 (разные обозначения) Время, углы

Любое число, записанное в одной позиционной системе, можно представить в любой другой позиционной системе. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы тесно связаны между собой (степени 2), что делает их удобными для работы в информатике. Десятичная система доминирует в человеческом общении.